Aspheric Surface Measurement Based on Infrared Laser Interferometer
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摘要: 本文提出了一种基于红外激光干涉仪检测非球面面形的新方法，分为3个步骤：首先，利用红外激光干涉仪测量分析出非球面与标准球面之间的波像差；然后，根据非球面方程得出非球面与标准球面之间波像差的理论值；最后通过计算得出非球面的面形偏差。为验证这一方法的正确性和可靠性，采用ZYGO可见光干涉仪，使用补偿镜法测量了同一块抛物面反射镜的面形误差。结果表明，两种测量方法结果吻合。本新方法方便快捷，具有较强的通用性，可以用于非球面在加工过程中的面形测试。Abstract: Here, a novel method for measuring an aspheric surface using an infrared laser interferometer is proposed. The model is divided into three modules. First, the wave front aberration between the aspheric surface and the standard spherical surface was measured by an infrared laser interferometer. Then, the theoretical value of the wave image difference between the aspheric surface and the standard spherical surface was calculated according to the aspheric equation. Finally, the surface shape deviation of the aspheric surface was calculated. To verify the validity and reliability of this method, the surface shape error of the same paraboloidal mirror was measured using the ZYGO visible light interferometer and the compensation mirror method. The obtained results indicate that these two measurement methods were identical. Hence, the novel method is convenient, fast, and highly versatile and can be used to test aspheric surfaces during processing.
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0. 引言
光学系统中采用非球面元件，可以提高光学系统成像质量，简化光学系统结构[1]。随着单点金刚石车削技术的发展，非球面元件的应用领域越来越广泛，从而对光学非球面的制造提出了更高的要求[2]。光学非球面的制造技术包括加工和检测两个方面。没有高精度的检测技术就制造不出高精度的非球面元件，非球面元件面形的检测及数据分析处理技术是高精度非球面制造和定量校正的重要保证。
非球面元件的测量方法主要分为接触式测量、阴影法、干涉法等。
接触式测量主要借助轮廓仪或三坐标测量仪等设备对非球面元件进行多个离散点的测量[3]，经过数据处理，拟合得到面形误差。由于离散点间的空白区域在扫描过程中存在信息缺失，导致非球面元件的表面特征无法仅通过多个离散点来直观、精确地表征，而且设备测量头与非球面元件的接触可能会给元件表面带来一定的划痕。
阴影法测量主要观察阴影分布的图形和阴影图的明暗对比，对非球面元件的面形继续定性检测，该方法存在主观、定量困难、灵敏度低等缺点。
干涉法是测量非球面面形的一种有效而快捷的方法[4-5]，干涉法具有分辨率高、精度高、重复性好等优点，已成为球面面形测量的主要手段。传统的激光干涉法检测光学非球面反射面形要借助补偿装置，有的补偿器本身可能还有非球面元件，而要实现非球面的高精度检测，还要为其设计补偿器，因此又给加工和装调带来很多困难。此外，检测不同非球面反射镜所用的补偿装置各不相同、通用性差，且补偿装置加工成本高，而且不能单独测量补偿器的补偿效果。
本文提出了一种利用长波红外激光干涉仪进行非球面元件检测的方法，由于红外干涉仪采用较长波长的CO2激光作为光源，可不采用补偿器直接测量与参考面面形偏差较大的非球面透镜，有效地降低了检测成本。该方法首先用长波红外激干涉仪测量出非球面元件与标准球面波像差，导出被测非球面的Zernike系数，然后计算出被测理想非球面与最接近球面的波像差函数，对数据进行拟合得到理想非球面波的Zernike系数，最后通过Matlab软件对测试数据进行拟合仿真[6]，得到非球面面形，最后对测试结果进行验证。文中介绍了该测试方法的基本原理以及具体的试验和数据处理过程。
1. 非球面干涉法测量原理
用标准球面镜作为参考表面检测非球面的示意图如图 1所示。测量流程图如图 2所示。
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图 1 红外激光干涉仪测量非球面示意图Figure 1. Schematic diagram of measuring aspheric surface by an infrared laser interferometer![]()
图 2 干涉仪测量非球面面形流程Figure 2. Flow chart of measuring aspheric surface by the interferometer首先，调整好被测非球面的安装位置，利用精密导轨调整好干涉仪与被测非球面之间的距离。使参考球面波会聚的焦点与被测非球面最接近球面的圆心重合。这时，可获得被测非球面与标准球面镜的面形误差。
其次，计算被测非球面与最接近球面的波像差，采用算法Matlab拟合得到Zernike多项式系数。
最后，通过拟合得到非球面的三维形貌。
设红外激光干涉仪测量获得的非球面波面为W1(x, y)，通过计算得到的被测非球面波面为W2(x, y), 则非球面的实际面形误差（以波像差表示）为ΔW(x, y)，则：
$$ ΔW(x,y)＝W_{1}(x,y)－W_{2}(x,y) $$ (1) 式中：W1(x, y)通过泰曼-格林型激光干涉仪直接测量被测面而获得；W2(x, y)是被测非球面与最接近球面的面形误差。
2. 非球面与最接近球面波像差计算
2.1 非球面最接近球面的计算
在图 3所示的坐标系下，非球面的矢高方程为：
$$ y\left( x \right) = \frac{{c{x^2}}}{{1 + \sqrt {1 - \left( {1 + k} \right){c^2}{x^2}} }} + {a_2}{x^4} + {a_3}{x^6} + {a_4}{x^8} + \cdots $$ (2) 式中：x为离非球面回转轴的径向距离；y为相应的垂直距离；c为顶点曲率，c＝l/R0，R0为顶点曲率半径；k为二次常数；an为非球面系数。
将非球面度[7]A定义为沿着最接近球面法线方向的偏离量。则对于图 3所示的非球面，非球面度A为非球面上的点到球心的距离减去半径R。
$$ A\left( {R,a,x} \right) = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - a} \right)}^2}} - R $$ (3) 式中：(x, y)表示非球面上的点；a为非球面最接近球面的球心位置；R为非球面最接近球面半径；最大非球面度Amax为非球面度A在从中心到边缘所有位置中的最大值，非球面的最接近球面是指满足最大非球面度最小的球参数(R, a)，即求解：
$$ A_{\max }(R, a)=\min \{\max [A(R, a, x)]\} $$ 的球参数(R, a)。
输入被测非球面口径及非球面参数（包括顶点曲率半径R0、二次常数k、非球面系数an，如(2)式所示），以非球面顶点R0作为起始点，搜索求解得到非球面方程满足最大非球面度A最小的球参数(R, a)。
2.2 理想非球面与最接近球面波像差计算
非球面与最接近球面波像差计算，采用Matlab软件进行程序设计，在确定了被测非球面的类型和设计参数后，利用一维搜索法求解，大部分非球面的最接近球面半径与其顶点球半径相差不大，因此可以将顶点球面半径作为起始点，利用进退法来寻找包含解的半径区间，以便提高效率。
计算得到要求的Zernike系数值或矢高图，从而由软件计算拟合后得到理想非球面的函数。该非球面函数与干涉仪测得的实际波面函数相减，可获得被检非球面的面形误差。
3. 测量实验与结果
3.1 实验方案
实验使用10.6 μm的泰曼-格林型红外激光干涉仪[8]进行测试，针对口径为D＝110 mm，R0＝252.9 mm，k＝0.434的非球面用红外激光干涉仪作实际测量。红外干涉仪直接检测的结果为非球面与最接近球面的面形偏差，测试结果如图 4所示。
用Matlab软件计算该非球面的最接近球面半径如图 5所示。该非球面的最接近球面半径R＝251.5795 mm，非球面度Amax＝8.001 μm。偏差曲线如图 6所示。
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图 6 非球面最接近球面的偏差曲线图Figure 6. Deviation curve of aspheric surface closest to spherical surface对图 6非球面最接近球面的偏差曲线，用Matlab软件拟合，得到非球面最接近球面偏差曲线的Zernike系数。图 7为非球面最接近球面面形偏差的Zernike系数拟合结果图。
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图 7 非球面最接近球面面形偏差的Zernike系数拟合结果Figure 7. Fitting results of the Zernike coefficients for the deviation of aspheric surface closest to spherical surface非球面面形偏差测试结果如图 8所示。
3.2 实验验证
为了验证算法的正确性，针对口径为100 mm，顶点曲率半径为960 mm的抛物面镜，在ZYGO可见光干涉仪上通过补偿法进行实际测量，测试结果如图 9所示。
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图 9 干涉仪补偿法非球面面形测试结果Figure 9. The measured results of aspheric surface by interferometer compensation method利用本文的方法对同一块抛物面镜进行测试，经过波面拟合及波面相减技术，得到了所测抛物面镜的面形偏差，如图 10所示。
将补偿法测量结果与红外激光干涉法测量结果相比。图 9补偿法非球面面形测试（测试波长λ1＝0.6328 μm）结果为PV＝0.82λ1，RMS＝0.267λ1，图 10用红外激光干涉仪（波长λ2＝10.6 μm）直接测试的检测结果为PV＝0.563 μm，RMS＝0.176 μm。
对比补偿法测试与红外激光干涉仪计算数据结果，面形误差PV及RMS以及相对误差如表 1所示。
表 1 两种方法检测的面形误差及相对误差Table 1. The surface errors and relative errors detected by the two methodsCompensation method Interference method Relative error PV/μm 0.519 0.543 4.5% RMS/μm 0.169 0.176 4% 由表 1可以看出，利用该新方法测量非球面，面形误差PV及RMS与补偿法测量的相对误差都小于5%，满足工程精度要求。
从以上PV、RMS相对偏差计算可以看出, 利用红外激光干涉仪对非球面度小的元件直接测量是可行的，而且简单、快捷，容易实现测量。
4. 结论
提出了一种利用红外激光干涉仪检测非球面面形的方法，首先，使用红外激光干涉仪测量出非球面与标准球面之间的波像差；然后，根据非球面方程计算出非球面与标准拟合球面之间波像差的理论值，通过计算得到非球面的面形偏差。为了验证这一方法的正确性，利用该方法和补偿法对同一块抛物面镜进行测量。测量结果表明，此方法满足实际工程需求，有较强的通用性，可以用于非球面在加工过程中的测试。
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图 1 红外激光干涉仪测量非球面示意图
Figure 1. Schematic diagram of measuring aspheric surface by an infrared laser interferometer
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图 2 干涉仪测量非球面面形流程
Figure 2. Flow chart of measuring aspheric surface by the interferometer
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图 6 非球面最接近球面的偏差曲线图
Figure 6. Deviation curve of aspheric surface closest to spherical surface
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图 7 非球面最接近球面面形偏差的Zernike系数拟合结果
Figure 7. Fitting results of the Zernike coefficients for the deviation of aspheric surface closest to spherical surface
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图 9 干涉仪补偿法非球面面形测试结果
Figure 9. The measured results of aspheric surface by interferometer compensation method
表 1 两种方法检测的面形误差及相对误差
Table 1 The surface errors and relative errors detected by the two methods
Compensation method Interference method Relative error PV/μm 0.519 0.543 4.5% RMS/μm 0.169 0.176 4% 
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