0.   引言

随着红外制导导弹速度和射程的不断提高，加之其钝头外形^[1]，靠近红外整流罩表面的来流高马赫数空气，特别是附面层部分受到摩擦和阻滞，产生大量热气流，这些热气流以对流换热形式进入红外整流罩结构，使结构受热，即气动加热q_w^[2]。q_w对整流罩结构有很大影响，当其加热产生的热应力σ_热超过整流罩强度时，整流罩强度极限σ_max失效（炸裂）。这就是所谓“热障”问题^[3]。由于热障问题的主动因素是σ_热，因此，为了缓解“热障”，针对整流罩σ_热展开分析，给设计提供必要的力学参考。

目前，有多种关于极端环境下整流罩热应力σ_热冲击研究。兵器209所红外整流罩材料尖晶石spinel试片热震冲击^[4]，航空014基地的蓝宝石sapphire红外整流罩热应力冲击^[5]，长春光机所的氟化镁（magnesium fluoride）共形整流罩热应力分析^[6]，上海交大与航天八院半球形氟化镁红外整流罩的电弧风洞试验分区与热应力分析^[1]，美国雷神公司（Raytheon Company）的红外导弹整流罩驻点气动热q_w简化分析^[7]，美国约翰·霍普金斯大学应用物理实验室（Johns Hopkins APL）的蓝宝石sapphire红外导弹整流罩0°，30°，60°驻点气动热q_w试验研究^[8]，美国雷神公司的红外导弹整流罩气动热q_w冲击综合品质因素分析^[9]，然而，关于红外整流罩自由状态纯热应力σ_纯热的分析，报道较少。

红外整流罩自由状态纯热应力σ_纯热的分析是一种根据热弹原理^[1-2]，为整流罩早期材料的选取和是否需要继续进行下一步整流罩约束状态的研究，提供一种简单明了的快捷判断方法。虽然导弹飞行过程中，整流罩处于与金属壳体的位移约束W_Γ约束状态，并不存在自由状态的整流罩，但是根据热弹原理^[1-2]，热应力σ_泛热分为两种，一种是纯热应力σ_纯热，另一种是热应力σ_热，σ_热由于约束位移W_Γ的引入，其值大于单纯由温度梯度▽T ^[1]引起的σ_纯热，所以，根据热应力σ_热的这个特性，将σ_纯热从热应力σ_热中剥离出来单独分析，抛开W_Γ的影响。然后，根据均匀温度场T_均匀的▽T最小，结合▽T与纯热应力σ_纯热成正比，判断由T_均匀引起的σ_纯热最小，因此，以T_均匀引起的σ_纯热单独冲击自由状态整流罩，可据此查看整流罩材料强度极限σ_max能否抵抗这种最小σ_纯热，如果能，即σ_max大于σ_纯热，结合冯氏判据，继续整流罩约束状态热应力σ_热研究；否则，更换σ_max更大的整流罩材料。显然，由于不考虑W_Γ的影响，抓住引起整流罩热炸裂的主动因素▽T，所以，红外整流罩σ_纯热分析是导弹整流罩研制早期，高效选材的一种快速力学判据（Fast Force Judgement，FFJ）。而且，这种方法还可用于导弹整流罩热炸裂故障诊断，因为单从导弹整流罩热炸裂的结果看，并不能分清是σ_热使得整流罩炸裂，还是σ_纯热令整流罩热炸裂。所以，需要将σ_纯热剥离出来单独分析，分清楚究竟是单独σ_纯热就导致整流罩炸裂，还是叠加了位移约束W_Γ的σ_热所致。如果是σ_纯热导致，那就更换材料；如果是σ_热，可以调整位移约束W_Γ，为解决整流罩热炸裂提供一种办法。故，该方法可用于诊断风洞试验中的整流罩是由于σ_纯热导致热炸裂，还是σ_热所致，只要将均匀温度场T_均匀变更为试验所测的温度边界条件T_风洞；同理，也可用于诊断挂飞导弹整流罩与试飞导弹整流罩的热炸裂原因，根据诊断，采取不同的解决方案。

此外，针对整流罩σ_纯热求解中，由于其处于自由状态，刚度矩阵κ奇异，提出微约束W_Γ微法解决刚度矩阵κ奇异。针对整流罩力学特征轴对称，提出采用轴对称简化热弹方程描述整流罩σ_纯热，既突显整流罩力学特性、便于分析查看，又节约计算资源。

1.   纯热应力分析

红外整流罩纯热应力分析分为两个部分、两个关键点：其一是整流罩材料的选择与几何外形尺寸的确定；其二温度边界条件T_Γ的设置。一个关键点是弹性力学边界条件W的设置，微约束W_Γ微法解决自由状态刚度矩阵κ奇异；另一个关键点是纯应力σ_纯热分析轴对称简化。

1.1   材料及几何外形尺寸

考虑到导弹红外双色制导以及抵抗气动力与气动热的需求，整流罩材料需要较高的红外中波和长波透射率τ以及较高的材料强度极限σ_max，目前可供选择的典型材料有硫化锌ZnS、硒化锌ZnSe、CVD金刚石，其2 mm厚度的τ和σ_max如表 1所示。

表  1  双色红外整流罩材料光学性能与力学性能（厚度2 mm）

Table  1.  Double wavelength infrared dome material optical and force property

Material	Transmissivityτ	Ultimate strength σmax /MPa
ZnS	Mediumwave: 72%， Longwave: 72%[10]	100[11-12]
ZnSe	Medium wave: 74%， Long wave: 74%[10]	70[11]
CVD Diamond	Medium wave: 71%， Long wave: 71%[11]	≥300[11]

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如表 1所示，CVD金刚石的综合指标是最好的，但其制备大尺寸球形壳体较困难，目前能够制备的球壳体直径ϕ70 mm，直径超过ϕ120 mm大尺寸球形壳体制备未见报道，而红外整流罩采用的大尺寸球形壳体直径普遍超过ϕ120 mm ^[13]，故舍去CVD金刚石。比较ZnS与ZnSe，二者光学性能τ相似，文献报道经过热处理后的厚度5 mm的ZnS中波与长波的平均透射率τ_平均达到73%^[12]，厚度6 mm的ZnS中波τ值接近70%，长波τ值达到72%^[13]，满足导弹红外成像制导需求^[10-11]，可以作为导弹整流罩材料。ZnS力学性能σ_max较ZnSe好，但其100 MPa的σ_max也不高，难以抵抗较大应力σ的冲击，σ由气动力P与气动热q_w产生。因此，有必要分析其P，确定整流罩外形尺寸，再根据气流速度v和整流罩外形尺寸得出气动热q_w，由q_w得出热应力σ_热，由于P产生的气动应力σ_p≪σ_热，σ_p不作重点分析。综合分析光学双色透射率τ，力学材料强度极限σ_max，大尺寸半球壳体制备工艺三方面，初步选择ZnS作为双色红外整流罩制备材料。然后，根据气动力P和整流罩内部空间要求设置ZnS整流罩外形及尺寸，文献[14]指出，设定整流罩飞行速度V_飞行1~3Ma、零攻角、高度2.5 km，考虑整流罩必须满足σ_max大于σ_p和装载红外探测器转框的要求，将整流罩设置为直径d为150 mm、厚度b为6 mm的半球壳体。如图 1所示。

图  1  红外整流罩示意图

Figure  1.  Infrared dome diagrammatic sketch

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1.2   温度边界条件T_Γ

整流罩根据气动力P设定几何外形尺寸，以此为基础，进一步分析导致整流罩炸裂的主要因素热应力σ_热，为了抛开位移约束W_Γ影响，快速判断初选材料是否能用，又从热应力σ_热剥离出主导因素纯热应力σ_纯热。单独分析自由状态下σ_纯热，探索最小的σ_纯热，找出既能覆盖红外探测器工作温区，同时产生的纯热应力σ_纯热最小（σ_纯热min）的温度边界条件T_Γ，借此，以σ_纯热中最小的σ_纯热min试探整流罩强度极限σ_max，查看整流罩强度极限σ_max是否大于σ_纯热min，据此判断材料的取舍。如果材料σ_max大于σ_纯热min，继续下一步约束研究；否则，换材料。整流罩纯热应力σ_纯热与热应力σ_纯热min示意图如图 2所示。

图  2  红外整流纯热应力σ_纯热与热应力σ_热示意图

Figure  2.  Infrared dome pure thermal stress and thermal stress diagrammatic sketch

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考虑到整流罩由于受到气动加热q_w作用，其过高的温度产生的热辐射Γ会导致红外探测器过饱和，严重时会致盲，丧失探测功能，文献[15]指出：整流罩温度不能超过450 K，否则会导致红外探测器过饱和。所以将整流罩最高温度设置为450 K。根据文献[1]指出纯热应力σ_纯热由温度梯度▽T决定，与之成正比，显然，温度均匀场的σ_纯热是最小的，综合以上两点，将整流罩外壁面Γ_外壁的温度边界条件T_Γ设置为450 K均匀场T_外均。

同理，整流罩内壁面也设置为温度均匀场，由于整流罩密封，将其内壁面设置为室温300 K，综合以上两点，整流罩内壁面Γ_内壁温度边界条件T_Γ设置为300 K均匀场T_内均。

考虑到整流罩密封，将其内部空气设置为静止状态，所以整流罩内壁面与空气的热交换设为自然对流，自然对流系数h，由式(1)确定^[16]：

根据这个公式，将Δt=450-300=150℃，r=0.069 m，代入计算，得到自然对流换热系数h=7.12 W/m²·℃。

所以，整流罩温度边界条件：外壁面Γ_外壁为450 K均匀场T_外均，内壁面Γ_内壁为300 K均匀场T_内均，内壁面Γ_内壁与空气的热交换设为自然对流，自然对流系数h=7.12 W/m²·℃，由于考虑的是径向温度梯度▽T，整流罩端面Γ_端面温度边界条件T_Γ与之垂直，故，不计端面Γ_端面温度边界条件。

1.3   微约束

1.3.1   问题分析

对于整流罩纯热应力σ_纯热的分析，由于其处于自由状态，在采用有限元计算时，刚度矩阵κ奇异。针对这个问题，从弹性力学原理分析，κ奇异是由于其离散的热弹方程TE本身在描述整流罩纯热应力σ_纯热分析时，整流罩处于自由状态，也就是说，没有弹性力学边界条件W_Γ的约束，热弹方程处于自由状态L，其解δ是通解δ_通，不是唯一的特解δ_特，反应在离散的有限元方程组上，就是刚度矩阵κ奇异。

1.3.2   解决方法

根据这个分析，提出一种有别于以往采用罚函数法，加大数C至奇异矩阵A对角线元素，消除A奇异^[17]从数学层面解决A奇异的办法——微约束法，追本溯源，A具化为物理力学中的刚度矩阵κ，根据热弹力学原理，从物理层面解决κ奇异的问题。刚度矩阵κ奇异的本质原因是整流罩没有弹性力学边界条件W_Γ的约束，要解决刚度矩阵κ奇异，只有施加约束W_Γ，但是，求解整流罩σ_纯热又要求没有W_Γ，为了解决这个矛盾，提出微约束法，通过设置一个微小的弹性力学第一边界条件微位移约束W_Γ微，既满足弹性力学边界条件F_Γ的约束，消除刚度矩阵κ奇异，又保证求解整流罩纯热应力σ_纯热所必须的自由状态。即根据纯热应力σ_纯热是由于温度梯度▽T引起的热膨胀Δl引起的，那么根据牛顿第三定律作用力F与反作用力F_反的互相作用在施力物体与受力物体上，只要约束整流罩边界的施力物体置于膨胀Δl边缘，此时，受力物体整流罩的反作用力F_反，即σ_纯热不能作用于施力物体，那么，施力物体自然不会约束整流罩，只需将弹性力学边界条件位移约束W设置在整流罩受热膨胀Δl边缘，由于计算误差，位移约束W不可能正好等于Δl热膨胀，会产生一个偏差位移W_偏差，这个偏差位移W_偏差就是微位移约束W_Γ微，它巧妙的解决了求解整流罩纯热应力σ_纯热刚度矩阵奇异κ与自由状态之间的矛盾，如图 3所示。。

图  3  微约束示意图

Figure  3.  Micro constraint diagrammatic sketch

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整流罩壁面位移约束W由式(2)确定^[18]：

式中：Δl为膨胀量；α为膨胀系数；ΔT为温差；r为整流罩内半径。

观察整流罩外表面Γ_外，即外壁面Γ_外壁、内壁面Γ_内壁、端面Γ_端，根据圣维南应力σ局部集中原理，Γ_端应力集中系数ξ最大，Γ_外壁则容易构成封闭力学结构，影响整流罩自由状态，Γ_内壁应力集中系数ξ小且为开放力学结构，在此处施加微约束，最逼近整流罩自由状态，所以，选择Γ_内壁为约束对象，即弹性力学边界条件W的作用对象为Γ_内壁。根据式(2)，将α=6.8×10^-6 K^-1，ΔT=450-300=150K，r=0.069m代入上式计算，得出W=7.038×10^-5 m，即Γ_内壁的微约束为W_Γ微=7.038×10^-5 m。

至此，整流罩自由状态通过微约束法求解纯热应力σ_纯热，同时，又消除刚度矩阵κ奇异。微约束的对象是内壁面Γ_内壁，大小是W_Γ微=7.038×10^-5 m，方向径向$\vec r$。

1.4   轴对称

结合导弹研制早期工况零攻角设置要求，参考上述整流罩几何外形及材料，温度边界条件T_Γ，弹性力学边界条件位移约束W的设置。可以得出整流罩纯热应力σ_纯热分析关于整流罩子午面φ的轴线对称，包括几何外形半球壳体轴对称；材料是均质ZnS，自然也是轴对称；温度边界条件T_Γ轴对称；弹性力学边界条件位移约束W轴对称，所以，为了抓住整流罩轴对称特性，突显其轴对称力学特性，给后续研究提供鲜明的力学参考，同时，也为了节约计算资源，因此，将三维整流罩纯热应力分析简化为轴对称，由以下方程表述^[19]：

式中：σ_r、σ_z、σ_ϕ为轴对称结构体径向、轴向、环向热应力；f_r、f_z为径向、轴向体力，由于结构体轴对称，环向体力为0，所以方程中没有环向平衡微分方程。

整流罩轴对称示意如图 4。

图  4  整流罩轴对称示意图

Figure  4.  The schematic diagram of dome axial sketch

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1.5   强度失效判据

根据冯氏应力判据，破坏失效的发生条件是当应变能量达到其破坏值。这种情况下，应变能量的等效应力在本文中定义如下^[20]：

式中：σ₁，σ₂，σ₃为主应力，Pa；[σ]为许用应力，MPa。针对ZnS红外整流罩，[σ]就是ZnS的材料强度极限σ_max，其值为100 MPa。

在各向同性体之中，应变与应力主向是重合的，此时，主应力与σ_r、σ_z、σ_ϕ与σ₁，σ₂，σ₃是相等的^[19]，也就是说，求出σ_r、σ_z、σ_ϕ，代入冯氏应力判据，可以判断应力破坏失效。

2.   物理模型

根据以上分析讨论，以Ansys17为纯热应力σ_纯热分析平台，采用APDL（ANSYS Parameter Design Language）语言编写红外整流罩纯热应力分析物理模型。据此，得到ZnS能否用于设定边界条件下整流罩的选材判据以及开展下一步约束研究的依据，同时，验证红外整流罩纯热应力σ_纯热分析是一种高效快捷的力学判断方法。

2.1   ZnS热物性参数

温度场热导率λ是热弹计算中重要的物性参数，λ描述物质导热能力的高低，λ的确定非常重要，工程计算中用到的λ数值通过专门实验测定。ZnS的热物性参数如表 2所示。

表  2  ZnS热物性参数

Table  2.  ZnS thermal properties of matter parameter

Elasticity E(GPa)	Coefficient of Linear expansion α（10-6/K）	Poisson Ration μ	Thermal conductivity λ(W/m·K)
96.46[13]	6.8[21]	0.3[13]	17[7]

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2.2   计算与分析

根据红外整流罩的几何尺寸及外形、温度边界条件T_Γ、弹性力学边界条件W的讨论与分析，以及ZnS热物性参数的分析，得出ZnS红外整流罩物理模型，根据物理模型，以Ansys17为计算平台，采用APDL编程计算得出整流罩纯热应力，并展开分析。

1）模型描述

几何尺寸及外形：直径ϕ150 mm，厚度b为6 mm的半球形壳体；轴对称简化；

温度边界条件：外壁面Γ_外壁为450 K均匀场T_外均，内壁面300 K均匀场T_内均，自然对流换热，换热系数h=7.12 W/m²·℃，端面不施加温度边界条件；轴对称简化；

弹性力学边界条件：微约束W_Γ微，内壁面Γ_内壁位移约束W_Γ微=7.038×10^-5 m，轴对称简化；

2）力学分析单元与网格划分

有限元建模分析采用Ansys17，选择APDL语言建模，并选择相应的轴对称热分析单元PLANE55进行求解，为确保应力计算符合有限元单元体体内应力一致性，采用放射式划分，即内壁密实，外壁松弛。选择与热分析单元PLANE55对应的结构分析单元PLANE42计算纯热应力σ_纯热。

3）结果与分析

根据上述有限元模型讨论分析，编写APDL程序制作出纯热应力σ_纯热有限元模型，求解、计算出温度场T与纯热应力σ_纯热，其等温分布图 5可知，在整流罩外壁面Γ_外壁温度边界条件T_均匀=450K（180℃）均布加载下，温度场T的温度梯度▽T沿径向逐层递减分布，T最低处为内壁面Γ_内壁，温度179.6℃，各层温度均匀分布。

图  5  整流罩等温分布图

Figure  5.  Dome isotherm to be distributed graph

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纯热应力计算结果如图 6所示，剔除轴对称设置引起的少数计算应力σ_计算尖锐点，整流罩的σ_纯热基本均布，纯热应力值σ_纯热为30MPa，小于ZnS材料强度极限σ_max的100 MPa（根据1.4，冯氏应力判据）。

图  6  整流罩等应力分布图

Figure  6.  Dome isostress to be distributed graph

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综合上述模型热应力计算结果和分析，自由状态下的ZnS红外整流罩，450 K温度载荷均布加载，不会导致整流罩炸裂σ_纯热失效。也就是说，自由状态下的整流罩可以抗住最高温度450 K、以及内外表面最大温差150 K的热冲击。覆盖整流罩内红外探测器工况温差150 K。

3.   试验证明

根据2.2节ZnS整流罩物理模型纯热应力σ_纯热分析得出，σ_纯热小于σ_max，可以开展下一步约束状态研究，采用与ZnS整流罩物理模型相同外形尺寸与热物性参数的整流罩实体，开展温度边界条件包络300~450 K的约束状态下热应力σ_热冲击试验，试验结果表明整流罩并未产生热炸裂，即σ_热小于σ_max，如图 7所示。

图  7  ZnS整流罩约束σ_热冲击实物图

Figure  7.  ZnS Dome to be shocked by σ_t object graph

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根据热弹原理^[1-2]，ZnS红外整流罩自由状态的σ_纯热小于其约束状态整流罩的σ_热，结合试验结果σ_热小于σ_max，根据不等式传递性，得出σ_纯热小于σ_max，与模型计算结果σ_纯热30MPa小于σ_max 100MPa匹配，由此佐证了红外整流罩纯热应力σ_纯热分析的正确性。同时，也验证了红外整流罩纯热应力σ_纯热分析可为导弹整流罩早期选材研究提供一种快速判据。

4.   结论

针对红外整流罩热炸裂σ_max失效，从其主要因素热应力σ_热中剥离出纯热应力σ_纯热分析，抓住σ_纯热在σ_热中的主导性，高效、简单、快捷地指出初步选择的整流罩材料是否能用，是一种红外整流罩研制早期的快速力学判断方法。

1）ZnS整流罩物理模型纯热应力σ_纯热为30 MPa，小于其材料ZnS强度极限σ_max=100 MPa，不必更换材料，可以开展下一步约束状态研究来模拟整流罩固结与导弹金属壳体的实际工作状态。在约束状态研究中，与模型相同的实体ZnS整流罩在σ_热的冲击下，并不炸裂，即σ_热小于σ_max，结合热弹原理σ_纯热小于约束状态的σ_热，根据不等式传递性，得出σ_纯热小于σ_max，与模型计算结果σ_纯热30 MPa小于σ_max 100 MPa匹配，由此佐证了红外整流罩纯热应力σ_纯热分析的正确性。而且，30 MPa的σ_纯热与100 MPa的σ_纯热相比较，占比η达到30%，验证了σ_纯热分析在整流罩早期研制中，可作为一种选材和开展下一步研究的快速力学判据。

2）为了支撑纯热应力σ_纯热分析的快速判断，根据σ_纯热由温度梯度▽T决定且成正比的理论，提出采用▽T最小的温度均匀场T_均匀来试探整流罩材料强度极限σ_max的承受力，并且，T_均匀应覆盖红外探测器工作温区。

3）从物理层面，提出微约束法解决整流罩自由状态求解纯热应力σ_纯热刚度矩阵κ奇异的问题，有别于以往数学层面的罚函数大数矩阵法，更贴近力学边界条件。

4）针对红外整流罩轴对称特性，根据弹性力学原理，提出以轴对称方式简化三维分析，既凸显整流罩力学分析的主要特质，又节约计算资源。

5）红外整流罩纯热应力σ_纯热分析还可以为后续的整流罩热炸裂提供故障诊断判据，也就是分清是σ_纯热导致热炸裂，还是叠加位移约束W_Γ所致，方便采取不同的应对策略，做到有的放矢，减少无效工作。