0.   引言

由于空气的粘性作用，飞机在飞行过程中，其机身和尾后会产生一系列的脱体涡，主要分为前缘涡、后缘涡以及翼尖涡。前缘涡和后缘涡相比机翼翼尖产生的翼尖涡强度要小得多，且不稳定，脱体后很快就会削弱。而翼尖涡可以在机翼后方200倍翼展内稳定，涡核可以持续数分钟不消散。同时，飞行过程中发动机向后喷射出大量高速气流也会对飞机的尾流场产生一定的影响。由于尾涡和发动机喷流的影响，对周围大气会产生变化率大、分布不规律的诱导速度。因此，飞机的尾喷流诱导速度可以分为尾涡诱导速度和喷流诱导速度，其中尾涡诱导速度主要由翼尖涡引起，而喷流诱导速度主要指尾喷口喷射的高速气流产生的诱导速度。

飞机尾喷流诱导速度可以对经由尾流场区域内的飞机产生强烈的震颤、侧翻下沉、甚至是空中停车，严重威胁飞行安全^[1-5]。同时，诱导速度还会影响红外诱饵弹、箔条弹的运动扩散规律，影响干扰效果。诱导速度甚至会导致加油机加油椎管在空中来回摆动，导致加油失败。因此，对飞机尾喷流诱导速度进行研究意义十分重大。

国内外的学者对飞机尾喷流诱导速度进行了大量研究。Loucel^[6]建立了尾涡模型，并研究了加快尾涡消亡及避免飞行事故的方法。程学东^[7]对飞机的尾涡进行了研究，并分析了飞机编队飞行中尾流的规避方法。魏志强^[8]对尾涡的消散和涡核的运动进行了建模研究，并将计算结果与激光雷达实测结果对比，验证了模型的可信性。黄烁桥^[9]提出了利用发动机喷流加快尾涡消亡的观点，并对最终的结果进行了仿真分析。

由于前缘涡、后缘涡脱体后很快消散，因此文中主要求解翼尖涡及喷流产生的诱导速度。

1.   尾喷流诱导速度模型

本章主要建立尾涡模型和喷流模型，分别求解翼尖涡和尾喷口喷流产生的诱导速度。

1.1   飞机尾涡模型

飞机在飞行过程中，机翼上下表面会产生一个压力差。而这个压力差在机翼翼尖两侧汇合，从而形成了一对向内卷曲的翼尖涡流^[10]，如图 1所示。翼尖涡流涡核强度较大，且相对稳定，因此其产生的诱导速度较大，可以对飞机尾后处在该区域内的其他飞机产生强烈的影响，甚至造成飞行事故，如图 2所示。

图  1  飞机翼尖涡

Figure  1.  Wing tip vortex of aircraft

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图  2  尾涡对飞机飞行的影响

Figure  2.  The impact of wake vortex on flight

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1.1.1   尾涡的初始强度

飞机的升力主要由附着在机翼剖面上的涡环量产生^[11]，设Γ(z)为机翼上的涡环量，则机翼产生的升力Y_p可以表示为：

式中：ρ为大气密度；B为飞机翼展；V_p为飞机的飞行速度。

对椭圆形翼和后掠翼，Γ(z)可以表示为：

式中：Γ为涡核的初始强度。将公式(2)代入公式(1)，则飞机的升力可以表示为：

设飞机在飞行过程中所承受的法向过载为n_y、m为飞机质量，则飞机的升力Y_p＝n_ymg，代入公式(3)可以得到涡核的初始强度为^[12-13]：

设b₀为机翼两侧翼尾核的初始间距，其值为：

式中：s为翼形参数，s值的大小与机翼升力的横向分布有关。对于椭圆形机翼s＝π/4，对于后掠翼s取值为0.75~0.8。

由公式(4)可知，尾涡的初始强度主要取决于飞机质量、飞机法向过载、飞行速度、大气密度、飞机翼展以及翼形参数。

则飞机平飞时尾涡的初始涡强度为^[12-13]：

设r_c尾涡涡核半径，一般r_c表示为^[10]：

1.1.2   尾涡速度模型

设涡线微元为ds，涡核强度为Γ。则其对涡线外任意一点A产生的切线速度为：

式中：r_m为点A到涡线的垂直距离；θ_t为点A与涡线微元之间的夹角。

设涡线两端与点A之间的夹角分别为α和β，点A到涡线的垂直距离为r_m，γ为涡线微元ds到A点的直线与r_m的夹角，P、B为涡线端点，如图 3所示。则微元ds可以表示为：

图  3  涡诱导速度计算图

Figure  3.  Vortex induced velocity computation figure

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对公式(8)积分，则涡线在点A处产生的切线速度V_w为：

式中：α_t和β_t为点A与涡线两端之间的夹角。当涡线无限长时α_t=β_t＝0°，则V_w为：

由于尾涡涡核初始强度很大，在涡核半径r_c内部可以认为旋转角速度恒定。令公式(11)中的r_m＝r_c，则涡核内部的旋转角速度ω_c为：

式中：V_{w, c}为涡核半径上的切线速度。

则当点A位于涡核内部，则切线速度V_w为：

Hallock-burnham模型无论对涡核内还是涡核外的点都适用^[14-15]，因此文中采用该模型对尾涡切线速度进行计算，即：

由于飞机的尾涡为涡线与飞机纵轴平行且强度相等的两个反向自由涡，而自由涡只存在切线的诱导速度无径向速度，因此尾涡对飞机尾后流场中任意点的诱导速度都只在Y轴和Z轴上存在一定的分量，在X轴上无分量。设尾涡的两个点涡核心坐标为(y₁, z₁)和(y₂, z₂)，由公式(14)可知，任意点A在翼尖涡中的诱导速度为^[8]：

式中：(x, y, z)为点A坐标；Γ₁和Γ₂为尾涡涡核强度，且Γ₁＝－Γ₂^[16]。

1.1.3   尾涡飘降模型

由于飞机尾涡左右对称且反向旋转，在互相诱导的作用下，其涡核高度不断地下降^[17-18]。飞机尾涡的下降速度可以达到每分钟几百英尺，但当下降到一定高度后，尾涡就停止下降，直至消散。

当涡核高度高于地面50m且无风时，尾涡的下降速度近似为定值。下降速度v_t为：

则t时刻尾涡涡线的坐标为(h₀－v_tt, b₀/2)和(h₀－v_tt, －b₀/2)。

1.2   尾喷口喷流模型

飞机在飞行过程中，发动机喷口在飞机尾后喷射出大量的高速、高温气体，因此尾喷口喷流能够在飞机尾后空间内产生较大的诱导速度。喷流产生的诱导速度虽大，但是气流在喷射出后迅速减速，相比尾涡，喷流的影响区域并不大。

将发动机的喷流场沿轴向分为稳定区和不稳定区，沿径向分为稳速核心区、减速区、混流增速区以及边界层区，如图 4所示。

图  4  喷流模型

Figure  4.  Jet flow model

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设V_m为喷流场中心速度，由于初始阶段处于稳速核心区内，因此其V_m＝V_n0不变。在减速区内，中心速度V_m可以表示为：

式中：D₀为发动机喷口直径；S₁为流场轴心线上的点到喷口之间的距离；S₀为图 4中的转折截面到喷口的距离，其值为：

式中：Ma_n为喷流马赫数。联立公式(23)和公式(24)则可以得到喷流场轴线上的速度。

喷流流场径向速度可以表示为：

式中：y为计算点到轴线的距离；R_tp为喷流边界层到轴线之间的距离。在不稳定区域内R_tp大概为喷口半径的3.5倍，R_tp的具体值可以由下式求得，即：

在稳定区域内，其值为：

式中：α₁为射流扩散角。

2.   飞机流场CFD计算

本章对飞机的流场进行CFD计算，其中尾流CFD计算主要计算尾涡诱导速度，而喷流CFD计算则主要计算飞机喷流诱导速度。

2.1   飞机尾流CFD计算

由于飞机尾涡可以在尾后很长区域内保持稳定，因此，本文将计算域设置为520m×75m×48m的长方体，以满足尾涡诱导速度的计算要求。如图 5所示，飞机机头距计算域前端100m，飞机质心位于计算域原点，来流方向沿X轴负方向与机身平行。边界层网格第一层厚度设置为10^－2 m，采用四面体非结构网格对计算域进行剖分，网格数总计为5137.6万。初始条件设置为高度H＝0 km、来流马赫数Ma＝0.8、压力P＝101325Pa，大气温度T＝288.15K。尾喷口设置为质量入口，质量流量设置为111kg/s，总温为774.17K，计算域边界设置为压强远场，飞机壁面设置为无滑移绝热壁面。对机翼后缘、机翼下表面以及飞机尾后进行网格加密处理，重点计算飞机机翼前缘涡、后缘涡以及翼尖涡的流场。

图  5  计算域示意图

Figure  5.  Computational domain schematic diagram

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图 6为Ma＝0.8时，CFD计算得到的飞机尾后涡线图。

图  6  飞机尾后涡线图

Figure  6.  Vortex line figure after the tail of aircraft

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由图 6的计算结果可知，飞机在0°迎角下其前缘涡、后缘涡以及翼尖涡较为分散，涡核强度不大。在5°迎角下，前缘涡、后缘涡以及翼尖涡汇合在了一起，在飞机尾后形成了一个十分强烈的涡。飞机在5°迎角飞行时，机翼产生的升力增大，机翼上下表面压力差也随之增大，最终导致翼尖处形成的诱导涡强度Γ增强。

2.2   飞机喷流CFD计算

控制方程为Navier-Stokes方程，采用分离隐式求解器，压力速度耦合使用SIMPLEC算法，各物理量的离散采用二阶迎风格式，迭代收敛准则为残差小于1×10^－4。喷管壁面为无滑移绝热壁面，尾喷口为质量入口，外流场前端为压强入口，径向四周边界设为压强远场，外流场后端设为压强出口。计算模型选用标准k-ε湍流模型。

设喷口半径为0.4m，计算域为边长16m×16m×500 m的长方体。计算域的前端距喷口1m，喷口轴心位于来流的中心，如图 7所示。采用六面体结构网格对流场进行计算，对喷口附近和喷口轴心线区域进行网格加密，网格数总计117.7万。初始条件设置为高度H＝0km、来流马赫数Ma＝0、压力P＝101325Pa，大气温度T＝288.15K。发动机处于非加力最大状态，喷管进口质量流量111kg/s，总温774.17K。采用CFD专业求解器FLUENT进行流场计算。计算得到发动机尾流场速度分布如图 8所示。

图  7  尾喷口计算域示意图

Figure  7.  Jet nozzle computational domain schematic diagram

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图  8  尾喷流速度分布图

Figure  8.  Jet flow velocity distribution diagram

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由图 8的计算结果可知，在发动机喷流的影响下，喷口后的流场速度迅速增加，但影响的区域仅局限于尾喷口正后方的狭窄区域，且喷流在尾喷口喷出后速度迅速减小，发动机喷流的诱导速度在尾喷口后50m内逐渐降为0。

3.   模型验证与结果分析

应用CFD流场计算的方法求解飞机尾喷流诱导速度是目前公认可信度最高、最为精确的数值计算方法，但是CFD流场计算速度较慢，且由于尾涡可以在飞机尾后很长区域内保持稳定，因此计算域的设置需要足够长。同时每改变初始条件都需要对结果进行重新计算。而采用飞机尾喷流模型计算诱导速度的方法计算速度较快，但是结果不准确。本节将尾喷流诱导速度模型的计算结果与CFD计算结果进行对比，从而研究能够同时兼顾计算精度和计算效率的诱导速度计算方法。

3.1   尾流场诱导速度结果对比

设飞机翼展B＝15m，飞机质量m＝27273kg，飞行马赫数Ma＝0.8，b₀＝0.75B，飞行高度H＝0 km。则由2.1节建立的尾涡模型可以计算尾流场中任意点的诱导速度。

CFD流场计算中，初始条件的设置与2.1节一致。通过流场计算结果可知，当迎角α＝0.5°时，飞机的升力系数为0.10，此时飞机的升力与重力相等，飞机处于平飞状态。图 9~图 12为飞机尾后不同距离时，尾涡模型与CFD计算得到的尾流场诱导速度对比图。

图  9  飞机尾后10 m处尾流场诱导速度

Figure  9.  Induced velocity at 10 m after the tail of aircraft

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图  10  飞机尾后100 m处尾流场诱导速度

Figure  10.  Induced velocity at 100 m after the tail of aircraft

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图  11  飞机尾后10 m对比结果

Figure  11.  The comparison results at 10 m after the tail of aircraft

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图  12  飞机尾后100 m对比结果

Figure  12.  The comparison results at 100 m after the tail of aircraft

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由图 9和图 11的对比可知，飞机尾后10 m处CFD计算的诱导速度分布规律较为杂乱无章，与尾涡模型的计算结果差距较大。这是由于流经飞机的气流受到机身、机腹、进气道外壁等的干扰，产生的诱导速度极为不规律，同时飞机尾后的气流不但受到机翼前缘涡、后缘涡、翼尖涡的影响，垂尾以及平尾产生的诱导涡都会对流场内的诱导速度产生干扰。同时由于飞机飞行姿态、飞行速度的差异，还存在不确定的涡破碎现象。因此，飞机尾后的诱导速度及其复杂、不规律，与CFD计算结果差异较大。但是上述干扰的影响较不稳定，只停留在飞机尾后的一小段区域内。

由图 10和图 12的对比可知，飞机尾后100m处，尾涡模型与CFD的计算结果差距进一步减小，模型的计算结果能够真实地反应流场中诱导速度的变化规律。因为此时，飞机尾流场距离飞机较远，飞机机翼产生的前缘涡、后缘涡开始逐步消散，涡核强度大大降低，而此时机身对气流的干扰作用也被消减的很弱。由于翼尖涡十分稳定，在飞机尾后很长的距离都不会发生消散，流场中的诱导速度主要由翼尖涡决定。因此，尾涡模型与CFD结果较为接近。

图 9~图 12中的尾流场诱导速度对比结果可知，由于机身、机腹、进气道外壁等的干扰的存在，如果不依靠CFD，单纯采用理论建模的方法计算尾流场诱导速度，必须要对以上各种因素深入分析，分别建模最终确定结果，实现较为困难，可行性不高，并且效果甚微。因此，单纯采用建模的方法来计算尾流场诱导速度显然不能满足精度的要求。文中采用CFD流场计算和尾流模型相结合的方法来计算诱导速度。对于飞机尾后距离尾喷口100m之内的区域，采用CFD流场计算的方法计算诱导速度，对于距离尾喷口大于100m的区域，采用尾流模型计算诱导速度。这样大大的缩短了飞机CFD流场计算中的计算域长度，减少网格数量，在保证计算精度的前提下加快了计算速度。

3.2   喷流场诱导速度结果对比

设发动机喷口直径D₀＝0.8m，喷管出口速度V_n0＝867.5，尾喷流马赫数Ma_n＝1.78，来流马赫数Ma＝0.8，其余条件的设置与2.2节一致。则发动机喷流速度CFD计算结果和喷流模型计算结果如图 13和图 14所示。

图  13  发动机喷流速度CFD计算结果

Figure  13.  Jet flow velocity distribution computed via CFD

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图  14  喷流模型计算结果

Figure  14.  Jet flow models computation results

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由图 13和图 14的计算结果可知，喷流场中心轴线速度最大，距中心轴越远速度越小，喷流对于边界层外的流场区域几乎没有影响。喷流场核心区速度大，但核心区空间体积较小，减速区喷流速度迅速下降。喷流模型计算的诱导速度分布规律与CFD计算结果相一致，因此采用喷流模型计算喷流速度能够正确地反应喷流场的速度分布规律，不需要对模型进行二次校正。

4.   结论

本文对飞机尾喷流诱导速度进行了仿真分析。通过建立尾涡模型和尾喷口喷流模型研究了尾喷流诱导速度的数值计算方法。然后，应用CFD对飞机的尾喷流流场进行了计算，并与数学模型的计算结果进行对比。结果表明，在飞机尾后100m区域内，CFD计算的诱导速度与尾涡模型差距较大，而喷流模型与CFD的计算结果吻合得较好。为了兼顾计算精度和计算效率，文中认为在尾后100m区域内应当采用CFD计算结果，而在100m区域外可以采用尾涡模型计算流场诱导速度。