Adaptive PID Control Method Based on Space Optical Mechanical Thermal Model
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摘要: 为提高空间相机的控温稳定度以保证成像质量，本文提出一种基于空间光机热模型的自适应比例积分微分（proportional-integral-derivative, PID）控制方法。该控制器的设计从空间光机的热平衡方程出发，能够实时根据光机及与其辐射换热对象的温度修正光机的热模型，继而采用极点配置的方法实时校正PID控制器参数，最终确定本控温周期的加热占空比。本文通过建立抽象的空间光机热模型，分别施加上述自适应PID控制方法与固定参数PID控制方法，对控温效果进行了仿真及实验对比。结果表明，对环境扰动引起的温度波动，该自适应PID控制器始终保持最佳动态响应，控温稳定度优于± 0.1 K，具有更好的控温稳定性和环境适应性。Abstract: To improve the temperature control stability of space cameras to ensure imaging quality, an adaptive proportional-integral-derivative(PID) control method based on a space optical mechanical thermal model is proposed. The design of the controller starts from the thermal balance equation of the space optical machinery and can correct the thermal model of the optical machinery in real time according to the temperature of the optical machinery and its radiating heat exchange object. Then, the parameters of the PID controller are corrected in real time using the pole assignment method, and the heating duty cycle of the temperature control period is finally determined. In this study, by establishing an abstract thermal model of space optical machinery and applying the above self-adaptive PID control method and PID control method with fixed parameters, the effect of temperature control is compared by simulation and experiment. The experimental results show that the adaptive PID controller always maintains the best dynamic response to the temperature fluctuation caused by environmental disturbance, and the temperature control stability is better than ±0.1 K; thus, the controller has better temperature control stability and environmental adaptability.
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Keywords:
- space optical machinery /
- thermal model /
- pole assignment /
- self-adaption /
- PID control
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0. 引言
斯特林制冷机是通过压缩机产生高压气体后经膨胀机快速膨胀来达到制冷[1]的一种制冷装置。其中，单活塞线性斯特林制冷机由于降温速度快、质量轻和体积小等特点，目前正广泛用于红外探测器中。由于这种类型制冷机的压缩机端采用的是直线电机驱动技术，即通过给电机线圈输入正弦交流电后驱动压缩活塞做往复直线运动[2]，从而达到压缩制冷工质的目的。所以要使其可靠地运行，必须输入具有一定频率精度要求且稳定的正弦交流电信号。
目前，在生成正弦交流电的众多技术中，逆变器是一种可直接将直流电（DC）转化为交流电（AC）的发生器装置。虽然这种逆变装置一方面电路结构相对简单，电路装置体积小、质量轻、便携简易，电路启动快速，转化的效率高；另一方面逆变器还具有非常好的稳定性，在遇到电压不足，或者是负压等情况能够较好地保持其相关性能不会发生突变，从而在很大程度上也可保证直线电机的可靠性[3]。但当这类逆变器用于驱动线性斯特林制冷机时，如果在高频驱动下，制冷机基本是等效为小电阻和大电感串联结构进行工作。此时不仅对逆变器中开关器件的损耗极大[4]，还对滤波电路的要求较高，从而在一定程度上影响输出的交流电波形质量和频率精度。
此外，对于单活塞线性斯特林制冷机而言，由于压缩机独特的单活塞结构，当其工作时会在活塞轴向上产生较大的惯性力，从而对外输出振动[5-6]。所以为了克服这一技术难点，目前常利用动力吸振器的运动去消减压缩机输出的振动能量。例如，Ricor公司的K527型单活塞斯特林制冷机在使用动力吸振器后压缩机端输出的振动可从14.8 N降低至0.1 N[7]，减振效果显著。而根据反共振原理，要使动力吸振器达到最佳的减振效果，则必须使其固有频率与压缩机工作频率一致。其中，动力吸振器的固有频率可通过合理设计板弹簧及配重的相关参数来精确调整。而压缩机的工作频率则必须由输入电机线圈的正弦交流电来决定[8-9]。由此可见，如何精确保证正弦交流电频率与动力吸振器固有频率的一致，无疑成为整个减振过程的重点。Veprik等人在对单活塞线性斯特林制冷机振动控制的研究中发现[10]，要使动力吸振器达到最佳的减振效果，需精确调配其固有频率与逆变器输出正弦交流电频率的吻合度，因此他们分别将两者频率的误差调至±0.125 Hz范围后，动力吸振器的减振性能得到了明显提升。随后他们在制冷机工作频率50 Hz的条件下，又分别将逆变器输出的正弦交流电频率和动力吸振器固有频率的误差精调至0.1 Hz以内后，制冷机输出的振动可从0.5 N降低至0.45 N。
参考上述文献研究，为使动力吸振器达到最佳的减振效果，本文的设计要求除了保证两者频率误差不超过±0.1Hz外，还应同时控制逆变器输出正弦交流电的频率精度小于|0.1%|。基于此，本文通过对SPWM波生成方法、逆变电路中MCU时钟频率及滤波电路中截止频率、电容和电感等多个参数的分析，得到开关数与正弦交流电频率精度之间的关系，并在目标频率为70 Hz时，对不同开关次数进行了频率精度测试。最后通过与理论精度进行对比研究，找出满足精度要求的相应开关次数范围。
1. 单相全桥逆变器的频率精度
1.1 单相全桥逆变器
经典的单相电压型SPWM逆变器如图 1所示，该逆变电路主要由4个CMOS管S1~S4构成的H型驱动桥组成[11]。其电路的工作方式主要是可由主控芯片单片机（MCU）产生的两组互补性SPWM波来控制H桥中4个CMOS管进行一定频率的开关动作，从而将输入H桥的直流电压转换为输出正弦方波交流电压[12]，进而再将正弦方波交流信号通过LC滤波电路，得到可以驱动负载电机的正弦交流电。
由上可知，在整个逆变电路中最为关键的是如何产生合适的高频SPWM波开关信号，这无疑对最终输出的正弦交流电频率及精度起着至关重要的影响。目前，由于MCU的数据计算能力已经得到了极大的发展，所以可通过软件调制的方法生成并输出SPWM信号。图 2是通过软件调制而成的双极性SPWM波原理图[13]。从图中可知，由目标正弦波（调制波）与CMOS管开关频率一致的三角波或锯齿波（载波）得到的相邻两交点（AB）的时间长度|T2-T1|，即为SPWM波中的一个方波占空比，而由此形成的一系列占空比按正弦波规律变化的方波即为SPWM波。
在生成SPWM波的过程中，一方面当目标正弦波频率一定且MOS管处于导通和截止状态的时候，由于导通电阻的存在会产生一定的开关损失，且损失的能量随开关频率（载波频率）的增加而增加[14]。但另一方面，对于高频的SPWM逆变器，MOS管运行频率越高，一个周期内产生的脉冲数越多，最终由H桥输出的信号中内部高次谐波成分越少，进而通过滤波后得到的交流电波形越光滑。由此可知，需要对逆变器设置一个合理的开关数来得到开关频率，不仅不会影响最终的正弦交流电频率精度，而且还能保证交流电质量不受损失[15]。
1.2 LC滤波器
对于上述的单相逆变器，从H桥输出的SPWM方波电压信号还需通过滤波电路进行滤波处理，这样才能给负载电机输入正弦电压[15]。而考虑到线性斯特林低温制冷机是大功率电器，流过回路的电流较大，所以本文采用LC低通滤波器，图 3为LC低通滤波器原理图。而为了使最终输出的交流电波形能在最大程度地接近正弦波的同时，又避免产生谐振等问题，LC滤波器截止频率必须远小于H桥中CMOS管的开关频率（载波频率）。此外，为了避免高频开关纹波对系统的影响，截止频率还应大于目标正弦波频率[16]。基于此，目前工程应用中对于高频的SPWM逆变器，常使载波频率远大于10倍的目标正弦波频率，而LC滤波器截止频率范围常为（开关频率）载波频率的1/10~1/5[17]之间：
$$ \left\{ \begin{gathered} 10{f_1} \ll {f_{\text{c}}} \hfill \\ {f_{\text{L}}} = (\frac{1}{{10}}\sim\frac{1}{5}){f_{\text{c}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ (1) 式中：f1为目标正弦波频率（调制波频率）；fL为截止频率；fc为开关频率（载波频率）。
如图 4所示，本文采用如图 3所示的带载LC一阶低通滤波器。由滤波电路的特性可知，当滤波器两端的输出信号与输入信号的幅值之比约为0.707时，其对应的信号频率即为通带截止频率fL，其中，0.707为滤波器的品质因子。
LC滤波电路中品质因子Q值一般可按信号的能量来计算[18]：
$$ Q = 2{{{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\frac{{{W_{\text{S}}}}}{{{W_{\text{R}}}}} $$ (2) 式中：WS为滤波器谐振回路储存的能量；WR为滤波器振荡一周损耗的能量。
根据图 6带载LC滤波器原理图可知：
$$ Q = 2{{{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\frac{{{W_{\text{S}}}}}{{{W_{\text{R}}}}} = \frac{{2{{{\rm{ \mathsf{ π} }}}}L{I^2}}}{{{R_{\text{L}}}{I^2}T}} = \frac{1}{{{R_{\text{L}}}}}\sqrt {\frac{L}{C}} $$ (3) 从而可求出其中电容为：
$$ C = \frac{L}{{{Q^2}{R_{\text{L}}}{}^2}} $$ (4) 由于LC滤波电路产生谐振时可忽略负载电阻RL的影响，所以其截止频率为：
$$ {f_{\text{L}}} = f\sqrt {\frac{{{X_{\text{C}}}}}{{{X_{\text{L}}}}}} = \frac{1}{{2{{{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {LC} }} $$ (5) 1.3 单片机MCU时钟频率
由上文分析可知，生成SPWM波是整个逆变电路最为关键的一步，而在产生SPWM波的方法上，大致可分为模拟式和数字式两类[19]。如用带滤波电路和正反馈放大器构成的正弦波振荡发生器电路这种模拟式方法来生成SPWM波，过程复杂，得到的开关频率精度不高。所以本文采用集成度较高的MCU单片机进行SPWM波的计算和生成。目前对于32位的MCU，其时钟频率一般可高达300 MHz，执行效能更佳，应用类型更多元。
MCU生成SPWM波的方法大致为：在MCU输出时钟信号的过程中，对时钟信号的上升沿或下降沿进行计数，当计数值达到触发周期时，采样得到一个SPWM方波，如图 5所示。
1.4 频率精度
频率的定义为1 s内完成周期性变化的次数。对于交流电频率f则可定义为一秒钟内通过相应个数的正弦波。而在MCU的实际应用中，其时钟频率、脉冲计数方式与开关数设置之间不仅有计算和响应的误差，而且滤波电路参数的选择也会影响最终生成的正弦交流电频率与预期频率存在一定的偏差。
其中，周期内开关数的大小对目标正弦交流电频率的影响将直接通过开关频率（载波频率）体现。从上述分析可知，要使开关频率与截止频率的关系满足式(1)的要求，则需找到合理的开关数N。因为一个周期内的开关数等于SPWM波的方波数，所以有：
$$ \frac{{{f_{{\text{MCU}}}}}}{{Nf}} \geqslant \frac{{{f_{{\text{MCU}}}}}}{{{f_{\text{c}}}}} $$ (6) 式中：fMCU为MCU系统频率；f为标准输出频率；fc为开关频率。
开关次数需满足：
$$ N \leqslant \frac{{{f_{\text{c}}}}}{{{f_{}}}} $$ (7) 每产生一个SPWM方波，需要MCU在时钟频率内提供相应的时钟个数T来触发，即：
$$ T=f_{\mathrm{MCU}} /(N f) $$ (8) 所以最终正弦波的频率为：
$$ f_{\mathrm{T}}=f_{\mathrm{MCU}} /(T N) $$ (9) 此外，受程序指令和单片机计算能力的影响，计算得到的开关数和SPWM波频率之间存在一定的取值误差，从而可能使计算得到的正弦波频率与目标频率之间存在偏差。如果假设正弦波计算值为fT，则理论频率误差为：Δf=fT-f。
所以频率精度f%为：
$$ f \%=\Delta f l f $$ (10) 通常只要保证输出的正弦波频率误差Δf不超过±0.1 Hz，且频率精度f%≤±0.1%，就能满足实际应用要求。
2. 斯特林制冷机频率精度数据分析
在经过前文理论分析后，还需要根据实际应用指标对逆变器中滤波电路的相关参数进行计算和选择。具体指标如下：
MCU时钟频率：72 MHz；
输入电压：8~24 V DC；
输入功率：2~50 W DC；
信号接口：RS232；
最大输出功率：50 W AC；
输出目标频率：15~100 Hz；
频率误差：±0.1 Hz；
频率精度：＜±0.1%；
负载电阻：1 Ω；
对于逆变器在线性斯特林制冷机这种大功率应用背景下，通常采用LC滤波电路。由于这种滤波技术是靠电路中的电流产生电磁感应来达到平滑输出的目的，所以为了保证实现完美滤波，一般可取电感为5~10 μH，并根据低通滤波器的品质因子Q=0.707，可通过式(4)计算出滤波电容：
$$ C=\frac{L}{Q^2 R_{\mathrm{L}}^2}=\frac{(5 \sim 10) \mathtt{μ}\mathrm{H}}{(0.707)^2 \times 2^2}=10 \sim 20 \mathtt{μ}\mathrm{F}$$ (11) 截止频率fL则为：
$$ \begin{aligned} f_{\mathrm{L}}=\frac{1}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} \sqrt{L C}} & =\frac{1}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} \sqrt{(5 \sim 10 \mathtt{μ}\mathrm{H}) \times(10 \sim 20 \mathtt{μ}\mathrm{F})}} \\ & =11.26 \sim 22.52\ \mathrm{kHz} \end{aligned} $$ (12) 根据上文分析得到环路截止频率fL等于开关频率(1/5~1/10)fc的关系，可计算得到开关频率fc为112.6~225.2 kHz。从而由式(7)可知，如果目标频率为70 Hz，则相应的开关数N为：
$$ N \leq \frac{f_{\mathrm{c}}}{f_{\mathrm{s}}}=(112.6 \sim 225.2 \mathrm{kHz}) / 70 \mathrm{~Hz}=1608 \sim 3221 $$ (13) 因为在实际应用中，开关数越大会使最终输出的正弦波越平滑，而同时为了兼顾单片机的工作效率，可将开关数取值在式(13)结果的均值附近。因此当目标正弦交流电频率为f=70 Hz时，可取开关数为2300次左右。由此根据式(8)便可求得MCU在时钟频率内提供触发产生单个SPWM方波的时钟个数T：
$$ T=72 \mathrm{MHz} /(2300 \times 10) \approx 447.20497(\text {个}) $$ (14) 对时钟个数取整：
$$T=[447.20497]=447 $$ (15) 再由式(9)可得到目标正弦交流电频率的理论值：
$$ f_{\mathrm{T}}=f_{\mathrm{MCU}} /(N T)=72 \mathrm{MHz} /(2300 \times 447)=70.03210 $$ (16) 频率精度则为：
$$ f_{\%}=\Delta f l f=\frac{70.03210-70}{70} \%=0.04586 \% $$ (17) 由此可知，在上述条件下的频率理论精度f%=0.04586%，满足频率精度＜±0.1%的使用要求。
同理，如果目标正弦交流电频率f=60 Hz，则一个正弦周期内的开关数范围为1876~3753。若取均值附近的开关数2600，则可得到取整后MCU在时钟频率内提供触发产生单个SPWM方波的时钟数为462。由此计算得到交流电频率理论值为fT=59.99200 Hz，频率误差Δf=-0.00800 Hz，频率精度为f%=0.013%，满足频率精度＜±0.1%的使用要求。
3. 实验分析
通过前文的理论分析可知，实验部分将主要针对70 Hz目标频率在不同开关次数下进行频率精度的测试。此外，在实验过程中也通过实际输出频率精度与理论精度进行对比研究，从而分析实际得到的正弦交流电其频率精度是否满足应用需求。图 6为实验搭建平台。
图 7为70 Hz，2300次开关数下通过示波器实际测量到的正弦交流电波形，从图中可以看到其实际频率为69.97504 Hz。由此可计算得到与目标频率的误差为0.02496，频率精度为0.03566%，满足频率精度小于±0.1%的使用要求。
为了得到满足频率精度对应的最佳开关数范围，本文在70 Hz目标频率下，分别在开关次数1400~3200范围内做了多组对比实验，并得到图 8所示的结果，实际频率和理论频率分别与目标频率的误差对比。
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图 8 在70 Hz目标频率下，实际、理论频率误差对比柱状图Figure 8. At a target frequency of 70 Hz, the actual and theoretical frequency errors are compared histograms同时经计算得到图 9所示的理论频率精度和实验频率精度对比曲线。从图中可以看到，当开关次数为1400~2400次时，实际频率和理论精度均小于±0.1%，满足实际使用要求。
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图 9 实际频率精度以及计算的理论频率精度对比图Figure 9. Comparison of actual frequency accuracy and calculated theoretical frequency accuracy4. 总结
本文基于线性斯特林制冷机逆变器的研究，通过对SPWM波生成方法、逆变电路中MCU时钟频率及滤波电路中截止频率、电容和电感等多个参数的分析，得到了开关数与正弦交流电频率精度之间的关系。此外，不仅在70 Hz的目标频率、MCU为72 MHz的时钟频率及开关数为2300的条件下通过理论计算和实验的方法同时验证了最终频率精度均小于±0.1%，而且通过实验还得到了在此条件下满足频率精度要求的最佳开关数范围应在1400~2400之间。
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图 1 基于空间光机热模型的自适应PID控温原理图
Figure 1. Schematic diagram of adaptive PID temperature control based on optical mechanical thermal model
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