0.   引言

折射率n和消光系数k称为物质的光学常数，这两个参量是随光波长变化的，但习惯称为常数。在电磁波理论中，光谱反射率和透射率等光学性质可用物质的光学常数来描述，因此可通过测量光学性质来确定光学常数。方法主要有双光谱反演法^[1]、反射光谱反演法^[2]、透射光谱反演法^[3-5]、双厚度透射光谱反演法^[6-7]。

Bohren和Huffman^[8]用电磁波理论建立了平板材料的光谱透射率模型、以及只考虑光在平板内的多次反射，而忽略干涉效应时的非相干透射率模型。基于前者，Tuntomo^[6]等人采用玻璃-液体-玻璃三层平板结构，测量两个不同厚度液体的光谱透射率，在忽略玻璃影响的情形下通过迭代法反演确定了碳氢燃料庚烷和癸烷的光学常数。基于非相干透射率模型，李全葆等人^[7]通过测量不同厚度碲镉汞晶片的光谱透射率，采用迭代法求解了碲镉汞的光学常数；苏星等人^[9]测量了一种红外硒化物玻璃的光学常数。李栋等人^[10-12]以上述研究为基础，提出了多种改进透射率模型及反演算法，提高了三层平板结构测量液体光学常数的精度；王程超等人^[13]基于射线踪迹法推导了三层结构系统的总透射率模型，并采用粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）进行反演计算了生物柴油的光学常数。

因为多层结构的存在，上述测量液体光学常数的透射率模型和反演算法较为复杂。但对于半透明固体材料，如石英、金刚石、砷化镓、氟化镁和硒化锌等红外光学材料在光学窗口、像质改善和液体光学测量等方面有重要应用。这类固体材料可制备成单一材料结构并基于双厚度透射率模型测量其光学常数，这种情况下主要研究反演算法。如李栋等人^[14-15]提出了简化方程迭代法（Simplifie-Equation Iterative, SEI）和蒙特卡洛法（Monte-Carlo, MC）；吴国忠等人^[16]对SEI、MC和PSO三种方法做了比较研究，结论是PSO方法精度更高。

使用反演迭代法确定光学常数的方法计算耗时且存在迭代误差，上述学者在反演算法的设计、精度提升及误差减小上做了很多研究，但直接去求解双厚度透射率方程的尝试还未见报道。本文在这一方面做了探索，只要将双厚度透射率模型中的两个厚度设定为2倍关系，则经过代数推导，即可获得与衰减系数（可换算出消光系数）有关的八次多项式方程，以及关于界面反射率的一元二次方程。这两个方程均可求得精确数值解或解析解，从而避免了反演算法的耗时和误差。本文以文献[6]中庚烷的光学常数作为“理论值”，代入双厚度透射率方程计算的透射率作为“实验数据”，用多项式求根的方法确定庚烷的折射率n和消光系数k，验证了本文方法的可靠性。最后分析了双厚度偏离2倍关系时对计算结果的影响。

1.   多项式求根的双厚度透射率模型

设半透明平板材料的折射率、消光系数分别为n和k，则衰减系数α=4πk/λ，其中λ为光波长。将平板材料置于空气（折射率为1，消光系数为0）中，当光线垂直入射时，根据菲涅耳定律和斯涅耳定律，在平板材料与空气分界面上的界面反射率R=[(n-1)²+k²]/[(n+1)²+k²]。由于平板材料有两个界面，考虑光在平板内的多次反射，而忽略干涉效应时，光垂直通过厚度为L_i的平板后的透射率T_i可表示为^[8]：

则光通过厚度为L和2L的平板材料后的透射率a和b分别用式(2)、式(3)表示：

式中：y=exp(-αL)。给式(2)两侧同乘以y，联立式(3)消去两式右侧的分子，有：

将式(4)中的R代入式(2)，经过代数运算可得：

式中：p₈=b²，p₇=-2ab(1+b)，p₆=a²(1+b)²，p₅=2ab(1+b)，p₄=-2(a²+a²b²+b²)，p₃=2ab(1-b)，p₂=a²(1-b)²，p₁=-2ab(1-b)，p₀=b²，式(5)是关于y的一元八次多项式方程，通过数值求解可得到其8个根，但只有满足0＜y＜1的根才有实际物理意义。则平板材料的衰减系数和消光系数分为：

另由式(2)可得：

式(8)是关于R的一元二次方程，由于其判别式非负，又因0＜R＜1，则方程(8)的解为：

则平板材料的折射率为：

只要测量出L、2L两种厚度下的光谱透射率a、b，可由式(5)求多项式方程的根，再由式(6)、式(7)和式(10)计算出衰减系数、消光系数和折射率。上述方法不必经过耗时的反演迭代来确定光学常数（多项式求根所用计算时间可忽略不计），所以结果中不存在反演误差。

2.   结果和讨论

本文采用文献[6]中庚烷在2.5~15 μm的光学常数作为“理论值”。将上述光学常数代入式(2)、式(3)，计算厚度分别为L=15 μm和2L=30 μm下的透射率作为“实验数据”，然后利用多项式求根的方法确定庚烷的光学常数，通过比较计算结果与理论值的相对误差来验证本文方法的可靠性。需要指出，由于本文透射率模型与文献[6]的透射率模型不同，这里的“实验数据”与文献[6]的真实实验数据是有差别的。此处仅是借用文献[6]的数据构造了适合本文透射率模型的“实验数据”来代替实际实验，其好处是可以避免实际实验的其他误差而专门研究多项式求根方法的可靠性。

基于多项式求根方法确定的庚烷光学常数如图 1所示，消光系数有3个峰值，对应3个强吸收带。从消光系数和折射率的相对误差可以看出计算结果与理论值符合得很好，其中消光系数的最大相对误差为-9.4×10^-7%，折射率的最大相对误差为1.4×10^-5%。结果表明本文方法确定光学常数没有反演迭代误差。

图  1  基于多项式求根方法确定文献[6]中庚烷的光学常数

Figure  1.  Determination of the optical constant of heptane in reference [6] based on polynomial root method

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由于本文方法要求材料的两个厚度成2倍关系，如果第二厚度的制备或测量存在误差，则会导致计算结果出现误差。假定第二个厚度2L存在1%和5%的误差，则实际的厚度为(2±0.02)L和(2±0.1)L，不妨取1.98L和1.9L，则相应的透射率为b′=(1-R)²y^1.98/(1-R²y^3.96)和b″=(1-R)²y^1.9/(1-R²y^3.9)。将文献[6]中庚烷的光学常数代入此处公式计算的透射率作为“实验数据”，但仍按照基于2倍厚度关系推导的多项式方程来计算光学常数，通过比较计算结果与理论值的相对误差来评估厚度偏离2倍关系时对计算结果的影响，结果分别如图 2、3和图 4、5所示。

图  2  第二厚度2L存在1%误差时k的计算误差

Figure  2.  Calculation error of k when the second thickness 2L has 1% error

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图  3  第二厚度2L存在1%误差时n的计算误差

Figure  3.  Calculation error of n when the second thickness 2L has 1% error

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图  4  第二厚度2L存在5%误差时k的计算误差

Figure  4.  Calculation error of k when the second thickness 2L has 5% error

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图  5  第二厚度2L存在5%误差时n的计算误差

Figure  5.  Calculation error of n when the second thickness 2L has 5% error

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如图 2、3所示，第二个厚度2L存在1%的误差时，消光系数的相对误差在(2~2.03)%之内，而折射率在3.4 μm、6.8 μm、13.8 μm吸收带的误差较大，分别为26.9%、3.8%和1.3%，其余波长处的误差不超过1%。可见，不考虑强吸收点，就整个波段范围来看，由于厚度不满足2倍关系对消光系数计算结果的影响大于折射率；但在强吸收点，同样的厚度改变，由于k值较大所造成的透过率的相对误差就比较大，折射率的计算对此比较敏感，而消光系数的计算却不敏感。

如图 4、5所示，第二个厚度2L存在5%的误差时，消光系数的相对误差在(10~10.15)%之内，而折射率在3.4 μm、6.8 μm、13.8 μm吸收带的误差较大，分别为134.9%、18.5%和6.4%，其余波长处的误差不超过3.5%。其结论与厚度存在1%误差时的情形相似。再比较厚度误差1%和5%的计算结果，可以看出当厚度误差扩大5倍时，消光系数、强吸收点折射率的计算误差也扩大5倍左右，但其余波长处折射率的计算误差仅扩大3.5倍，对厚度的误差相对不敏感。

3.   结论

基于传统的双厚度透射率模型，在将两个厚度设定为2倍关系时，可获得与衰减系数有关的八次多项式方程，以及关于界面反射率的一元二次方程。通过多项式方程求根的方法实现了光学常数的确定，从而避免了反演迭代法的耗时和误差。借用文献[6]中庚烷的光学常数验证了本文方法的可靠性，除了个别的强吸收点，即使模型中的两个厚度偏离2倍关系时本方法仍能获得较好的计算结果。